Eksponentsiaalne kasv suurendab ajaga väärtusi eksponentsiaalselt, aeglustumine aga ajaga eksponentsiaalselt väheneb.

Mis on eksponentsiaalne kasv?

Eksponentsiaalse kasvu määratlus:

Eksponentsiaalne kasv on see, kui mõne üksuse arv kasvab aja jooksul hüppeliselt eksponentsiaalselt. Eksponentsiaalse kasvuga matemaatiline funktsioon on funktsioon, milles numbrid mitmekordistuvad aja edenedes. Eksponent on osa ka võrrandist, nii et näiteks võib võrrand olla y = 5 * 2x. Sel juhul korrutatakse iga number, mis algab 5-st, kahega eksponendi võimsuseks, näiteks 2. Eksponent on tavaliselt täisarv suurem kui 1, nii et kui number sellele võimsusele tõstetakse, annab see veelgi suurema arvu.

Eksponentsiaalse kasvu graafik:

Selle funktsiooni graafiku joonistamine annaks kõverjoone, mis läheb ülespoole. Kalle muutuks pidevalt, kuna võrrandisse sisestatakse rohkem numbreid. Kalde võrrandi saamiseks peaksite tuletise arvutama arvutusmeetodi abil. Kuna aja muutuja graafiku x-teljel olevad numbrid muutuvad suuremaks, muutuvad ka suurusnumbri y-telje numbrid. Muutujate vaheline seos ei ole pöördvõrdeline ja kaldub ülespoole.

Näited eksponentsiaalse kasvu kohta:

Eksponentsiaalse kasvu näiteid võib leida bakterite populatsioonidest, mis jagunevad väga kiiresti. Näiteks Salmonella enterica serovari Typhimurium baktereid on põhjalikult uuritud ja näidatud, et neil on viivitusfaas, mille jooksul nad valmistuvad sisenema eksponentsiaalse kasvu mustrisse. Bakterid jagunevad ja populatsioon kasvab hüppeliselt, kuni enam pole toitaineid.

Eksponentsiaalse kasvu kasutused:

Bakterite kasvukiiruse tundmine erinevates tingimustes võib olla kasulik teadlaste jaoks mitmesuguste antimikroobsete ainete väljatöötamiseks. Neid antibiootikume saab seejärel testida ja hinnata vastavalt nende mõjule bakteri sihtmärgi eksponentsiaalsele kasvukiirusele.

Mis on eksponentsiaalne lagunemine?

Decay määratlus:

Lagunemine toimub siis, kui arv väheneb aja jooksul eksponentsiaalselt, seega näib tulemus korduva jaotuse moodi. Eksponentsiaalvõrrand on endiselt kaasatud, kuid eksponent on selline, et väärtused aja jooksul vähenevad või lagunevad. Oletagem näiteks, et meil on võrrand: y = 5 * 2x. Sel juhul korrutatakse iga number, mis algab 5-st, kahega eksponentvõimsuseks, näiteks 1/2. Eksponent on murdosa, nii et numbrite suurus väheneb võrrandiga ühendamisel.

Graafik:

Selle funktsiooni graafiku joonistamine annaks allapoole suunatud kõverjoone. Kalle muutuks pidevalt, kuna võrrandisse sisestatakse rohkem numbreid. Kalde võrrandi saamiseks peaksite tuletise arvutama arvutusmeetodi abil. Kui graafiku x-teljel, ajamuutujal olevad numbrid muutuvad suuremaks, muutuvad numbrid y-teljel väiksemaks. See on pöördvõrdeline seos kahe aja ja suuruse vahel ning graafik kaldub allapoole.

Eksponentsiaalse lagunemise näited:

Hea näide lagunemisest on uue auto väärtus. Auto esmakordsel ostmisel on see väärt palju raha, kuid aja möödudes see odavneb ja kaotab väärtuse, nii et kui müüksite auto, saaksite selle eest vähem kui alguses maksisite. Teaduses on isotoopide radioaktiivne lagunemine hea näide toimuvast looduslikust lagunemisprotsessist. Isotoobi poolestusaeg on aeg, mille jooksul pool aatomit laguneb.

Kasutusalad:

Teatud isotoopide radioaktiivse lagunemise tundmine on olnud väga kasulik, kuna see on võimaldanud teadlastel settekivimite kihtides leiduvaid fossiile. See annab ülevaate sellest, milline elu oli maakeral igal geoloogilisel perioodil.

Erinevus eksponentsiaalse kasvu ja eksponentsiaalse languse vahel

Definitsioon

Eksponentsiaalse kasvu korral suureneb arvu väärtus aja jooksul eksponentsiaalselt. Lagunemisel väheneb arvu väärtus aja jooksul eksponentsiaalselt.

Eksponent

Eksponendi võrrandis eksponentsiaalse kasvu korral on tavaliselt täisarv, arv, mis on suurem kui 1. Lagunemise võrrandi eksponent on murdosa, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.

Graafik

Eksponentsiaalse kasvu korral suurenevad graafiku y-väärtused x-väärtuste suurenedes. Lagunemise olukorras vähenevad graafiku y-väärtused x-väärtuste suurenedes.

Trend

Eksponentsiaalse kasvu ilmnev trend on aja jooksul üha suurem. Lagunemise suundumus on vastupidine eksponentsiaalse kasvu korral täheldatule ja selle asemel on see aja jooksul üha väiksem.

Näited

Eksponentsiaalsed kasvukiiruse näited hõlmavad mitut tüüpi bakterite kasvukiirust, kui tingimused on optimaalsed ja enne substraadi ammendumist. Lagunemise näideteks on auto vähenev väärtus (amortisatsioon) aja jooksul ja radioaktiivsete isotoopide radioaktiivne lagunemine aja jooksul.

Eksponentsiaalset kasvu ja lagunemist võrdlev tabel

Eksponentsiaalse kasvu kokkuvõte Laguneb

  • Nii eksponentsiaalset kasvu kui ka lagunemist saab matemaatiliselt kirjeldada, kasutades eksponenti hõlmavaid võrrandeid. Nii eksponentsiaalse kasvu kui ka lagunemisega kaasneb arvude kiire muutumine. Eksponentsiaalse kasvu eksponent on alati positiivne ja suurem kui 1. Lagunemise eksponent on alati vahemikus 0 kuni 1. Eksponentsiaalne kasv on siis, kui arv kasvab eksponentsiaalselt kiiresti, seega on graafiku iga x-väärtuse korral suurem y-väärtus. Lagunemine toimub siis, kui arvud eksponentsiaalselt kiiresti vähenevad, nii et graafiku iga x-väärtuse korral on väiksem y-väärtus. Eksponentsiaalse kasvu näide on bakterite populatsiooni kiire kasv. Lagunemise näide on auto väärtuse langus ja isotoopide radioaktiivne lagunemine.
Dr Rae Osborn

Viited

  • Kujutise krediit: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Population_growth.png
  • Kujutise krediit: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Exponential_Decay_Function.png
  • Rolfe, Matthew D., et al. "Lagfaas on selge kasvufaas, mis valmistab baktereid ette eksponentsiaalseks kasvuks ja hõlmab metalli mööduvat akumuleerumist." Journal of bakteriology 194.3 (2012): 686-701.
  • Steiger, R_H ja Emilie Jäger. "Geokronoloogia allkomisjon: lagunemiskonstantide kasutamise kokkulepe geo- ja kosmokronoloogias." Maa ja planeetide teaduslikud kirjad 36.3 (1977): 359-362.